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本系列是2023年春季学期《应用计量经济学》期末复习笔记，仅涵盖时间序列部分，对应 Hansen (2022) Econometrics 第14和16章的内容。
内容提要
介绍了 Beveridge-Nelson 分解，并通过此法证明了更一般的平稳序列（允许序列相关）的部分和过程的极限分布。
Beveridge-Nelson 分解
在上一讲的例子中，$e_t$ 是一个平稳遍历的鞅差分，这是一个比较特殊的平稳序列，现在我们想知道对于更一般的平稳序列，其（标准化的）部分和过程 $S_n(r)$ 是否也能通过 FCLT 得到一个极限分布。
我们考虑 $e_t$ 是一个 $\text{MA}(\infty)$ 的情况，它仍然是平稳的，只是允许了序列相关。具体而言，设
$$ e_t = \Theta(L)u_t = \sum_{j=0}^\infty\theta_ju_{t-j} $$其中 $u_t$ 是一个平稳遍历的鞅差分，方差为 $\sigma^2$。
Beveridge-Nelson 分解依赖于对多项式 $\Theta(z)$ 的分解：
$$ \begin{align*} \Theta(z) &= \Theta(1) + [\Theta(z)-\Theta(1)] \\ &= \textstyle\Theta(1) + \left(\sum_{j=0}^\infty\theta_jz^j-\sum_{j=0}^\infty\theta_j\right) \\ &= \textstyle\Theta(1) + (1-z)\sum_{j=0}^\infty\left(-\theta_j\sum_{k=0}^{j-1}z^k\right) \\ &= \textstyle\Theta(1) + (1-z)\sum_{k=0}^\infty\left(-\sum_{j=k+1}^\infty\theta_j\right)z^k \\ &= \textstyle\Theta(1) + (1-z)\sum_{k=0}^\infty\theta_k^* z^k \\ &= \Theta(1) + (1-z)\Theta^{*}(z) \end{align*} $$为保证求和顺序可交换，一个充分条件是 $\sum_{k=0}^\infty|\theta^*_k|<\infty$。
于是，$e_t$ 可分解为
$$ e_t = \Theta(1)u_t + (1-L)[\Theta^{*}(L)u_t] \equiv \xi_t + \nu_t-\nu_{t-1} $$$\xi_t$ 无疑仍是一个平稳遍历的鞅差分，方差为 $\Theta(1)^2\sigma^2$；根据第二和第三讲，$\nu_t=\Theta^{*}(L)u_t$ 也是平稳遍历的（但不再是鞅差分）。
那么，部分和序列就有如下分解
$$ Y_t = \sum_{\tau=1}^te_\tau = \sum_{\tau=1}^t\xi_\tau + \nu_t - \nu_0 $$求和项 $\sum\xi_\tau$ 称为 永久部分 (permenant component) 或趋势部分，随时间而积累；$\nu_t-\nu_0$ 称为 瞬时部分 (transitory component)，不随时间积累；前者是 $Y_t$ 在长期的决定部分。此分解就是 Beveridge-Nelson 分解。
部分和过程的极限分布
通过构造阶跃并除以 $\sqrt{n}$，得到标准化的连续时间部分和过程
$$ Y_n(r) = \frac{1}{\sqrt{n}}Y_{\lfloor nr\rfloor} = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{\tau=1}^{\lfloor nr\rfloor}\xi_\tau + \frac{1}{\sqrt{n}}\nu_{\lfloor nr\rfloor} - \frac{1}{\sqrt{n}}\nu_0 $$第一项应用上一讲的内容，依分布收敛到布朗运动 $B(r)$，单位时间累积方差为 $\Theta(1)^2\sigma^2$；第三项显然是 $o_p(1)$，因为任意随机变量都是 $O_p(1)$。
第二项值得细说。它是 $o_p(1)$ 的一个充分条件是 $\max_{1\leq t\leq n}n^{-1/2}|\nu_t| = o_p(1)$，这是因为
$$ |\nu_{\lfloor nr\rfloor}| \leq \max_{1\leq t\leq n}|\nu_t| \quad\text{for every } r\in[0,1] $$而 $\max_{1\leq t\leq n}n^{-1/2}|\nu_t| = o_p(1)$ 的一个充分条件是平稳序列 $\nu_t$ 方差有限，这一点是满足的：
$$ \text{var}(\nu_t) = \sigma^2\sum_{j=0}^\infty(\theta^{*}_j)^2 < \infty $$注意，$\sum_{j=0}^\infty|\theta^{*}_j|$ 收敛必然意味着 $\sum_{j=0}^\infty(\theta^{*}_j)^2$ 收敛。因此，第二项也是 $o_p(1)$。
以上分析表明了，$Y_n(r) \to_d B(r)$，单位时间方差 $\Theta(1)^2\sigma^2$。
参考
Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.
最后修改于 2024-09-04