计量复习笔记 (V)：泛函中心极限定理

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本系列是2023年春季学期《应用计量经济学》期末复习笔记，仅涵盖时间序列部分，对应 Hansen (2022) Econometrics 第14和16章的内容。

内容提要

介绍了泛函中心极限定理，并用其证明了鞅差分部分和过程的极限分布。

泛函中心极限定理

一个随机过程 $\{e_t(\omega)\}_{t=1}^n$，当我们固定 $\omega$ 时（即一次 realization），我们就得到了一条样本路径，关于时间的函数。我们可以像在绘制折线图那样，将离散点连接起来，就得到了一条 $[1,n]$ 上连续的曲线；当然，也可以像后文那样，在离散点之间用水平线插值，得到一个阶跃函数，只在有限个点处不连续，这不会影响核心性质。不失一般性，我们总可以将区间 $[1,n]$ 对应到 $[0,1]$ 上，也就是说，将一个 $[1,n]$ 上的函数水平伸缩到 $[0,1]$ 上，这不难做到。最后，我们将得到一个 $C[0,1]$ 中的函数，$C[0,1]$ 是全体 $[0,1]$ 上（几乎处处）连续的实值函数构成的函数空间¹。

以上的操作事实上建立了从 $\mathbb{R}^{n}$ 中的点（因为 $e_1(\omega),\dots,e_n(\omega)$ 是 $n$ 个实数值）到 $C[0,1]$ 中的函数的映射，在这个映射下会有一个像测度，它描述了 $C[0,1]$ 上随机函数的分布，或者说连续时间随机过程的分布。泛函中心极限定理关心的问题就是，当 $n\to\infty$ 时，这个分布的收敛情况。

一个典型的 $C[0,1]$ 上的概率测度是 Wiener 测度，它是 Wiener 过程（又称 Brownian motion）的分布。

以下我们直接给出泛函中心极限定理 (Functional Central Limit Theorem, FCLT)：

Theorem 1.

对随机过程 $\{e_t(\omega)\}_{t=1}^\infty$，记 $S_t = \sum_{\tau=1}^te_{\tau}$ 为部分和序列，构造一个阶跃函数 $S_n(\cdot)\colon[0,1]\to\mathbb{R}$：

$$ S_n(r) = \frac{1}{\sqrt{n}} S_{\lfloor nr\rfloor} = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^{\lfloor nr\rfloor}e_t $$

称之为标准化部分和过程，它不再是离散的，而是一个连续过程。

若 $S_n(r)$ 满足

对任意 $r_1,\dots,r_m$，都有

$$(S_n(r_1),\dots,S_n(r_m))\to_d(S(r_1),\dots,S(r_m))$$

$S_n(r)$ 渐进等度连续 (asymptotically equicontinuous)。

则 $S_n(r) \to_d S(r)$。

简单说一下两个条件的含义。第一个条件保证函数在任意有限个点处取值得到的有限维分布收敛，第二个条件是说随机过程作为一个函数族在概率意义上一致连续，是比单个函数一致连续更强的条件，这个条件将使得任意有限维的收敛足以确保函数在一个连续区间上的收敛。

一个例子

设 $\{e_t(\omega)\}_{t=1}^\infty$ 是一个平稳遍历的鞅差分，方差为 $\sigma^2$，标准化部分和 $S_n(r)$ 依照前述定义。根据鞅差分中心极限定理（见第三讲），有

$$ S_n(r) = \sqrt{\frac{\lfloor nr\rfloor}{n}}\frac{1}{\sqrt{\lfloor nr\rfloor}}\sum_{t=1}^{\lfloor nr\rfloor}e_t \to_d N(0,r\sigma^2) $$

此外，我们还可证明 $S_n(r_1)$ 和 $S_n(r_2)-S_n(r_1)$ 的联合分布渐进服从联合正态分布，协方差矩阵为 $\text{diag}\{r_1\sigma^2,(r_2-r_1)\sigma^2\}$。这事实上表明了 $S_n(r)$ 的极限分布具有布朗运动的性质。

$S_n(r)$ 还是是渐进等度连续的，证明可见 Hansen 课本第 16.22 节。

于是，根据 FCLT，$S_n(r)\to_d B(r)$。

参考

Davidson, James (1994). Stochastic Limit Theory: An Introduction for Econometricians. Oxford University Press.

Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.

严格来讲，此阶跃函数是右连左极函数，属于 Skorokhod 空间，也有在此空间上适用的 FCLT，但本文给出的 FCLT 不是某个函数空间内的函数列的收敛性，而是满足渐进等度连续函数列的收敛性。顺带一提，累积分布函数也是右连左极函数。 ↩︎

最后修改于 2024-09-04