计量复习笔记 (VII)：单位根序列的均值和趋势

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本系列是2023年春季学期《应用计量经济学》期末复习笔记，仅涵盖时间序列部分，对应Hansen (2022)Econometrics第14和16章的内容。

内容提要

介绍了随机游走序列的样本均值、带趋势项回归、除均值和除趋势等过程的渐进分布，它们都涉及布朗运动。

设 $Y_{t} = \sum_{τ = 1}^{t} e_{τ}$ 是上一讲定义的部分和序列，阶跃函数 $Y_{n} (r)$ 的具体定义如下：

Y_{n} (r) = \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{⌊ n r ⌋} = \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{t} for r \in [\frac{t}{n}, \frac{t + 1}{n}) t = 1, \dots, n

也就是说， $Y_{n} (r)$ 在区间 $[\frac{t}{n}, \frac{t + 1}{n})$ 上是常数（当然是对固定的 $ω$ ），因此可写为

\frac{1}{\sqrt{n}} Y_{t} = n \cdot \frac{1}{n} Y_{n} (r) = n \int_{t / n}^{(t + 1) / n} Y_{n} (r) d r

于是，对样本均值 ${\bar{Y}}_{n} = n^{- 1} \sum_{t = 1}^{n} Y_{t}$ ，我们有

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}} {\bar{Y}}_{n} & = \sum_{t = 1}^{n} \int_{t / n}^{(t + 1) / n} Y_{n} (r) d r = \int_{1 / n}^{1 + 1 / n} Y_{n} (r) d r \\ = \int_{0}^{1} Y_{n} (r) d r + \frac{1}{n^{3 / 2}} Y_{n} - \frac{1}{n^{3 / 2}} Y_{0} \\ = \int_{0}^{1} Y_{n} (r) d r + o_{p} (1) \end{aligned}

这个式子刻画了（标准化的）样本均值同（几乎处处连续的）阶跃函数的关系：阶跃函数是一个连续时间随机过程，它关于时间的积分就成了一个随机变量，我们就是在将样本均值表述成一个连续时间随机过程对时间的积分。

我们从上一讲已经知道 $Y_{n} (r) \to_{d} B (r)$ 。积分作为一个泛函，是关于被积函数的一个连续函数，因而根据 连续映射定理(Continuous Mapping Theorem, CMT)，有

\frac{1}{\sqrt{n}} {\bar{Y}}_{n} = \int_{0}^{1} Y_{n} (r) d r + o_{p} (1) \to_{d} \int_{0}^{1} B (r) d r

即scaled样本均值依分布收敛于布朗运动在时间维度上的平均。这也表明了 ${\bar{Y}}_{n}$ 本身是发散的，即一个单位根序列不具有均值回归的性质。

用单位根序列对时间趋势回归会得到不同寻常的结果。我们采用第四讲中的scaling矩阵 $D_{n} = diag {\sqrt{n}, n^{3 / 2}}$ ，分母的收敛仍然是

D_{n}^{- 1} X^{'} X D_{n}^{- 1} \to (\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix})

分子项 $D_{n}^{- 1} \sum_{t = 1}^{n} X_{t} Y_{t}$ 的两个分量可以表述如下：

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{t = 1}^{n} Y_{t} & = n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} {\bar{Y}}_{n} \\ \frac{1}{n^{3 / 2}} \sum_{t = 1}^{n} t Y_{t} & = n \sum_{t = 1}^{n} \int_{t / n}^{(t + 1) / n} X_{n} (r) Y_{n} (r) d r = n [\int_{0}^{1} X_{n} (r) Y_{n} (r) d r + o_{p} (1)] \end{aligned}

其中 $X_{n} (r)$ 的定义与 $Y_{n} (r)$ 类似：

X_{n} (r) = \frac{1}{n} X_{⌊ n r ⌋} = \frac{1}{n} t for r \in [\frac{t}{n}, \frac{t + 1}{n}) t = 1, \dots, n

显然， $sup_{r} | X_{n} (r) - r | = 1 / n \to 0$ ，因而由CMT得到 $X_{n} (r) Y_{n} (r) \to_{d} r B (r)$ ，再次使用CMT便有

\int_{0}^{1} X_{n} (r) Y_{n} (r) d r \to_{d} \int_{0}^{1} r B (r) d r

以上分析表明， $D_{n}^{- 1}$ 还不足以使分子项收敛，还需除以 $n$ ，即有

\frac{1}{n} D_{n}^{- 1} \sum_{t = 1}^{n} X_{t} Y_{t} \to_{d} (\begin{matrix} \int_{0}^{1} B (r) d r \\ \int_{0}^{1} r B (r) d r \end{matrix})

综合起来就是

\frac{1}{n} D_{n} \hat{β} = (\begin{matrix} n^{- 1 / 2} {\hat{β}}_{0} \\ \sqrt{n} {\hat{β}}_{1} \end{matrix}) \to_{d} {(\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{matrix})}^{- 1} (\begin{matrix} \int_{0}^{1} B (r) d r \\ \int_{0}^{1} r B (r) d r \end{matrix})

这表明， ${\hat{β}}_{1}$ 具有与平稳情形下OLS估计量相同的收敛速度，只是收敛到0。如果我们不知道一个序列是单位根而做了带趋势项回归，那么拟合出的趋势线的斜率是具有误导性的，因为它不应该传达任何有价值的信息，对预测也毫无帮助。

考虑除均值序列 $Y_{t}^{*} = Y_{t} - {\bar{Y}}_{n}$ ，对其构造阶跃并除以 $\sqrt{n}$ ，得到

Y_{n}^{*} (r) = \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{⌊ n r ⌋}^{*} = Y_{n} (r) - \frac{1}{\sqrt{n}} {\bar{Y}}_{n} \to_{d} B (r) - \int_{0}^{1} B (s) d s

注意，我们仍应用了CMT，这里的映射 $T (f) = f - \int_{0}^{1} f$ 是一个泛函，它将 $C [0, 1]$ 中的函数映射回 $C [0, 1]$ 。

线性除趋势序列 $Y_{t}^{* *} = Y_{t} - X_{t}^{'} \hat{β}$ ，对应的阶跃函数

\begin{aligned} Y_{n}^{* *} (r) & = \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{⌊ n r ⌋}^{* *} = Y_{n} (r) - \frac{1}{\sqrt{n}} {\hat{β}}_{0} - \frac{⌊ n r ⌋}{n} \sqrt{n} {\hat{β}}_{1} \\ \to_{d} B (r) - X (r)^{'} {(\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{array})}^{- 1} \int_{0}^{1} X (s) B (s) d s \end{aligned}

其中 $X (r) = (1, r)^{'}$ 。

线性插值除趋势： ${\tilde{Y}}_{t} = Y_{t} - Y_{0} - \frac{t}{n} (Y_{n} - Y_{0})$ ，这不是通过拟合，而是连接 $Y_{0}$ 和 $Y_{n}$ 得到的趋势线。对应的阶跃函数

\begin{aligned} {\tilde{Y}}_{n} (r) & = \frac{1}{\sqrt{n}} {\tilde{Y}}_{⌊ n r ⌋} = Y_{n} (r) - \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{0} - \frac{⌊ n r ⌋}{n^{3 / 2}} (Y_{n} - Y_{0}) \\ = Y_{n} (r) - \frac{⌊ n r ⌋}{n} \frac{1}{\sqrt{n}} Y_{n} + o_{p} (1) \\ \to_{d} B (r) - r B (1) \end{aligned}

极限过程 $V (r) := B (r) - r B (1)$ 称作 布朗桥(Brownian Bridge)，其特点是每条样本路径首末值均为0，就像一座桥一样连接 $r = 0$ 和 $r = 1$ 两个端点。

Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.

最后修改于 2024-09-04