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本系列是2023年春季学期 《应用计量经济学》 期末复习笔记, 仅涵盖时间序列部分, 对应Hansen (2022)Econometrics第14和16章的内容。
内容提要
介绍了随机游走序列的样本均值、 带趋势项回归、 除均值和除趋势等过程的渐进分布, 它们都涉及布朗运动。
样本均值过程
设是上一讲定义的部分和序列, 阶跃函数的具体定义如下:
也就是说, 在区间上是常数 (当然是对固定的), 因此可写为
于是, 对样本均值, 我们有
这个式子刻画了 (标准化的) 样本均值同 (几乎处处连续的) 阶跃函数的关系: 阶跃函数是一个连续时间随机过程, 它关于时间的积分就成了一个随机变量, 我们就是在将样本均值表述成一个连续时间随机过程对时间的积分。
我们从上一讲已经知道。 积分作为一个泛函, 是关于被积函数的一个连续函数, 因而根据 连续映射定理(Continuous Mapping Theorem, CMT), 有
即scaled样本均值依分布收敛于布朗运动在时间维度上的平均。 这也表明了本身是发散的, 即一个单位根序列不具有均值回归的性质。
带趋势项回归
用单位根序列对时间趋势回归会得到不同寻常的结果。 我们采用 第四讲 中的scaling矩阵, 分母的收敛仍然是
分子项的两个分量可以表述如下:
其中的定义与类似:
显然, , 因而由CMT得到, 再次使用CMT便有
以上分析表明, 还不足以使分子项收敛, 还需除以, 即有
综合起来就是
这表明, 具有与平稳情形下OLS估计量相同的收敛速度, 只是收敛到0。 如果我们不知道一个序列是单位根而做了带趋势项回归, 那么拟合出的趋势线的斜率是具有误导性的, 因为它不应该传达任何有价值的信息, 对预测也毫无帮助。
除均值和除趋势
考虑除均值序列, 对其构造阶跃并除以, 得到
注意, 我们仍应用了CMT, 这里的映射是一个泛函, 它将中的函数映射回。
线性除趋势序列, 对应的阶跃函数
其中。
线性插值除趋势: , 这不是通过拟合, 而是连接和得到的趋势线。 对应的阶跃函数
极限过程称作 布朗桥(Brownian Bridge), 其特点是每条样本路径首末值均为0, 就像一座桥一样连接和两个端点。
参考
Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.
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