内容提要 

介绍了随机游走序列的样本均值、带趋势项回归、除均值和除趋势等过程的渐进分布，它们都涉及布朗运动。

样本均值过程 

设 $Y_t = \sum_{\tau=1}^te_\tau$ 是上一讲定义的部分和序列，阶跃函数 $Y_n(r)$ 的具体定义如下：

$$ Y_n(r) = \frac{1}{\sqrt{n}}Y_{\lfloor nr\rfloor} = \frac{1}{\sqrt{n}}Y_t \quad \text{for } \textstyle r\in\left[\frac{t}{n},\frac{t+1}{n}\right) \quad t = 1,\dots,n $$

也就是说，$Y_n(r)$ 在区间 $\left[\frac{t}{n},\frac{t+1}{n}\right)$ 上是常数（当然是对固定的 $\omega$），因此可写为

$$ \frac{1}{\sqrt{n}}Y_t = n\cdot\frac1n Y_n(r) = n\int_{t/n}^{(t+1)/n} Y_n(r)\,dr $$

于是，对样本均值 $\bar{Y}_n = n^{-1}\sum_{t=1}^nY_t$，我们有

$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{n}}\bar{Y}_n &= \sum_{t=1}^n\int_{t/n}^{(t+1)/n} Y_n(r)\,dr = \int_{1/n}^{1+1/n} Y_n(r)\,dr \\ &= \int_0^1Y_n(r)\,dr + \frac{1}{n^{3/2}}Y_n - \frac{1}{n^{3/2}}Y_0 \\ &= \int_0^1Y_n(r)\,dr + o_p(1) \end{align*} $$

这个式子刻画了（标准化的）样本均值同（几乎处处连续的）阶跃函数的关系：阶跃函数是一个连续时间随机过程，它关于时间的积分就成了一个随机变量，我们就是在将样本均值表述成一个连续时间随机过程对时间的积分。

我们从上一讲已经知道 $Y_n(r)\to_d B(r)$。积分作为一个泛函，是关于被积函数的一个连续函数，因而根据 连续映射定理 (Continuous Mapping Theorem, CMT)，有

$$ \frac{1}{\sqrt{n}}\bar{Y}_n = \int_0^1 Y_n(r)\,dr + o_p(1) \to_d \int_0^1 B(r)\,dr $$

即 scaled 样本均值依分布收敛于布朗运动在时间维度上的平均。这也表明了 $\bar{Y}_n$ 本身是发散的，即一个单位根序列不具有均值回归的性质。

带趋势项回归 

用单位根序列对时间趋势回归会得到不同寻常的结果。我们采用 第四讲 中的 scaling 矩阵 $\bm{D}_n = \text{diag}\{\sqrt{n},n^{3/2}\}$，分母的收敛仍然是

$$ \bm{D}_n^{-1}\bm{X}'\bm{X}\bm{D}_n^{-1} \to \begin{pmatrix} 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac13 \end{pmatrix} $$

分子项 $\bm{D}_n^{-1}\sum_{t=1}^n\bm{X}_tY_{t}$ 的两个分量可以表述如下：

$$ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^n Y_t &= n\cdot\frac{1}{\sqrt{n}}\bar{Y}_n \\ \frac{1}{n^{3/2}}\sum_{t=1}^n tY_t &= n\sum_{t=1}^n\int_{t/n}^{(t+1)/n} X_n(r)Y_n(r)\,dr = n\left[\int_0^1 X_n(r)Y_n(r)\,dr + o_p(1)\right] \end{align*} $$

其中 $X_n(r)$ 的定义与 $Y_n(r)$ 类似：

$$ X_n(r) = \frac{1}{n}X_{\lfloor nr\rfloor} = \frac{1}{n}t \quad \text{for } \textstyle r\in\left[\frac{t}{n},\frac{t+1}{n}\right) \quad t = 1,\dots,n $$

显然，$\sup_r|X_n(r)-r|=1/n\to0$，因而由 CMT 得到 $X_n(r)Y_n(r)\to_d rB(r)$，再次使用 CMT 便有

$$ \int_0^1 X_n(r)Y_n(r)\,dr \to_d \int_0^1 rB(r)\,dr $$

以上分析表明，$\bm{D}_n^{-1}$ 还不足以使分子项收敛，还需除以 $n$，即有

$$ \frac{1}{n}\bm{D}_n^{-1}\sum_{t=1}^n\bm{X}_tY_{t} \to_d \begin{pmatrix} \int_0^1 B(r)\,dr \\ \int_0^1 rB(r)\,dr \end{pmatrix} $$

综合起来就是

$$ \frac1n\bm{D}_n\hat{\bm{\beta}} = \begin{pmatrix} n^{-1/2}\hat{\beta}_0 \\ \sqrt{n}\hat{\beta}_1 \end{pmatrix} \to_d \begin{pmatrix} 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac13 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} \int_0^1 B(r)\,dr \\ \int_0^1 rB(r)\,dr \end{pmatrix} $$

这表明，$\hat{\beta}_1$ 具有与平稳情形下 OLS 估计量相同的收敛速度，只是收敛到 0。如果我们不知道一个序列是单位根而做了带趋势项回归，那么拟合出的趋势线的斜率是具有误导性的，因为它不应该传达任何有价值的信息，对预测也毫无帮助。

除均值和除趋势 

考虑除均值序列 $Y_t^* = Y_t - \bar{Y}_n$，对其构造阶跃并除以 $\sqrt{n}$，得到

$$ Y_n^{*}(r) = \frac{1}{\sqrt{n}}Y_{\lfloor nr\rfloor}^* = Y_n(r) - \frac{1}{\sqrt{n}}\bar{Y}_n \to_d B(r) - \int_0^1 B(s)\,ds $$

注意，我们仍应用了 CMT，这里的映射 $T(f) = f - \int_0^1 f$ 是一个泛函，它将 $C[0,1]$ 中的函数映射回 $C[0,1]$。

线性除趋势序列 $Y_t^{**} = Y_t - \bm{X}_t'\hat{\bm{\beta}}$，对应的阶跃函数

$$ \begin{align*} Y_n^{**}(r) &= \frac{1}{\sqrt{n}}Y_{\lfloor nr\rfloor}^{**} = Y_n(r) - \frac{1}{\sqrt{n}}\hat{\beta}_0 - \frac{\lfloor nr\rfloor}{n}\sqrt{n}\hat{\beta}_1 \\ &\to_d B(r) - \bm{X}(r)'\begin{pmatrix} 1 & \frac12 \\ \frac12 & \frac13 \end{pmatrix}^{-1}\int_0^1\bm{X}(s)B(s)\,ds \end{align*} $$

其中 $\bm{X}(r) = (1,r)'$。

线性插值除趋势：$\widetilde{Y}_t = Y_t - Y_0 - \frac{t}{n}(Y_n-Y_0)$，这不是通过拟合，而是连接 $Y_0$ 和 $Y_n$ 得到的趋势线。对应的阶跃函数

$$ \begin{align*} \widetilde{Y}_n(r) &= \frac{1}{\sqrt{n}}\widetilde{Y}_{\lfloor nr\rfloor} = Y_n(r) - \frac{1}{\sqrt{n}}Y_0 - \frac{\lfloor nr\rfloor}{n^{3/2}}(Y_n-Y_0) \\ &= Y_n(r) - \frac{\lfloor nr\rfloor}{n}\frac{1}{\sqrt{n}}Y_n + o_p(1) \\ &\to_d B(r) - rB(1) \end{align*} $$

极限过程 $V(r) := B(r) - rB(1)$ 称作 布朗桥 (Brownian Bridge)，其特点是每条样本路径首末值均为 0，就像一座桥一样连接 $r=0$ 和 $r=1$ 两个端点。

参考 

Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.