计量复习笔记 (VII):单位根序列的均值和趋势

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本系列是2023年春季学期 应用计量经济学 期末复习笔记 仅涵盖时间序列部分 对应Hansen (2022)Econometrics1416章的内容

内容提要

介绍了随机游走序列的样本均值 带趋势项回归 除均值和除趋势等过程的渐进分布 它们都涉及布朗运动

样本均值过程

Yt=τ=1teτ是上一讲定义的部分和序列 阶跃函数Yn(r)的具体定义如下

Yn(r)=1nYnr=1nYtfor r[tn,t+1n)t=1,,n

也就是说 Yn(r)在区间[tn,t+1n)上是常数 当然是对固定的ω 因此可写为

1nYt=n1nYn(r)=nt/n(t+1)/nYn(r)dr

于是 对样本均值Y¯n=n1t=1nYt 我们有

1nY¯n=t=1nt/n(t+1)/nYn(r)dr=1/n1+1/nYn(r)dr=01Yn(r)dr+1n3/2Yn1n3/2Y0=01Yn(r)dr+op(1)

这个式子刻画了 标准化的 样本均值同 几乎处处连续的 阶跃函数的关系 阶跃函数是一个连续时间随机过程 它关于时间的积分就成了一个随机变量 我们就是在将样本均值表述成一个连续时间随机过程对时间的积分

我们从上一讲已经知道Yn(r)dB(r) 积分作为一个泛函 是关于被积函数的一个连续函数 因而根据 连续映射定理(Continuous Mapping Theorem, CMT)

1nY¯n=01Yn(r)dr+op(1)d01B(r)dr

scaled样本均值依分布收敛于布朗运动在时间维度上的平均 这也表明了Y¯n本身是发散的 即一个单位根序列不具有均值回归的性质

带趋势项回归

用单位根序列对时间趋势回归会得到不同寻常的结果 我们采用 第四讲 中的scaling矩阵Dn=diag{n,n3/2} 分母的收敛仍然是

Dn1XXDn1(1121213)

分子项Dn1t=1nXtYt的两个分量可以表述如下

1nt=1nYt=n1nY¯n1n3/2t=1ntYt=nt=1nt/n(t+1)/nXn(r)Yn(r)dr=n[01Xn(r)Yn(r)dr+op(1)]

其中Xn(r)的定义与Yn(r)类似

Xn(r)=1nXnr=1ntfor r[tn,t+1n)t=1,,n

显然 supr|Xn(r)r|=1/n0 因而由CMT得到Xn(r)Yn(r)drB(r) 再次使用CMT便有

01Xn(r)Yn(r)drd01rB(r)dr

以上分析表明 Dn1还不足以使分子项收敛 还需除以n 即有

1nDn1t=1nXtYtd(01B(r)dr01rB(r)dr)

综合起来就是

1nDnβ^=(n1/2β^0nβ^1)d(1121213)1(01B(r)dr01rB(r)dr)

这表明 β^1具有与平稳情形下OLS估计量相同的收敛速度 只是收敛到0 如果我们不知道一个序列是单位根而做了带趋势项回归 那么拟合出的趋势线的斜率是具有误导性的 因为它不应该传达任何有价值的信息 对预测也毫无帮助

除均值和除趋势

考虑除均值序列Yt=YtY¯n 对其构造阶跃并除以n 得到

Yn(r)=1nYnr=Yn(r)1nY¯ndB(r)01B(s)ds

注意 我们仍应用了CMT 这里的映射T(f)=f01f是一个泛函 它将C[0,1]中的函数映射回C[0,1]

线性除趋势序列Yt=YtXtβ^ 对应的阶跃函数

Yn(r)=1nYnr=Yn(r)1nβ^0nrnnβ^1dB(r)X(r)(1121213)101X(s)B(s)ds

其中X(r)=(1,r)

线性插值除趋势 Y~t=YtY0tn(YnY0) 这不是通过拟合 而是连接Y0Yn得到的趋势线 对应的阶跃函数

Y~n(r)=1nY~nr=Yn(r)1nY0nrn3/2(YnY0)=Yn(r)nrn1nYn+op(1)dB(r)rB(1)

极限过程V(r):=B(r)rB(1)称作 布朗桥(Brownian Bridge) 其特点是每条样本路径首末值均为0 就像一座桥一样连接r=0r=1两个端点

参考

Hansen, Bruce (2022). Econometrics. Princeton University Press.


最后修改于 2024-09-04

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