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本系列未能完成，只出了两期，因为复习进度太慢，最终换成手写笔记了。且作留恋。
Sequential form and recursive form
我们只考虑平稳的动态规划问题，「平稳」是说即时收益函数 $u$ 和状态变量的演化约束 $G$ 不显式地依赖于时间 $t$。
有两种表述形式：序列式和递归式，递归式也就是 Bellman 方程。序列式如下：
$$ \begin{align*} V^*(x_0) = \max_{\{x_t\}_{t=0}^\infty} &\quad\sum_{t=0}^\infty\beta^tu(x_t,x_{t+1}), \\ \text{s.t.}&\quad x_{t+1}\in G(x_t), \\ &\quad x_0 \text{ is given.} \end{align*} $$递归式如下：
$$ V(x) = \max_{y\in G(x)} u(x,y) + \beta V(y). $$两种形式所确立的值函数是等价的。
欧拉方程
在以上递归式中，一阶条件为
$$ u_2(x,y) + \beta V'(y) = 0. $$此外，由包络定理，有
$$ V'(x) = u_1(x,y). $$假设最优 policy 的函数（因为是平稳的，故不显式依赖于 $t$）：$y = \pi(x)$，便有欧拉方程
$$ u_2(x,\pi(x)) + \beta u_1\bigl(\pi(x),\pi(\pi(x))\bigr) = 0. $$对欧拉方程的直觉解释：增加 $y$ 的边际成本（通常 $u_2 \leq 0$）等于边际收益（未来收益的贴现）。
横截性条件
横截性条件 (transversality condition) 是动态优化的 必要 条件，它是对满足欧拉方程的候选路径的进一步筛选。具体而言，欧拉方程要求最优路径必定满足：任意边际的偏离（偏离后又回到路径上）都无法获得改进。如果路径终末值是不受限制的，那么可能有很多满足欧拉方程的候选路径，此时，横截性条件的作用就是从这些候选路径中排除（部分）非最优的路径，它要求最优路径满足：任意永久的偏离（偏离后不再回到原路径上）都无法获得改进。
一个形象的例子：从一点到一条直线 $L$ 的最短路径是什么？显然是从该点到直线的垂线段。欧拉方程相当于是说最短的路径必定是直线段，而从一点到直线 $L$ 可作无数条直线。横截性条件则是说在所有这些直线段中，最短路径必定垂直于直线 $L$。
The finite horizon case
为更好地理解横截性条件，我们首先考虑有限期的动态优化：
$$ \begin{align*} \max_{\{x_t\}_{t=0}^{T+1}}&\quad\sum_{t=0}^T\beta^tu(x_t,x_{t+1}), \\ \text{s.t.}&\quad x_{t+1}\geq0, \\ &\quad x_0 \text{ is given.} \end{align*} $$关于 $x_{t+1}$ 的一阶必要条件是
$$ \begin{cases} \beta^Tu_2(x_T,x_{T+1}) = 0, & \text{if } x_{T+1}>0, \\ \beta^Tu_2(x_T,x_{T+1}) \leq 0, & \text{if } x_{T+1}=0. \end{cases} $$两种情况可以合写为
$$ \beta^Tu_2(x_T,x_{T+1})x_{T+1} = 0. $$这便是横截性条件。它是说，除非增加下一期存量的边际成本为0，否则终末期的存量必定是0。我们把 $x_t$ 对应为资本存量，就更好理解了，在终末期，最优的选择就是，不进行任何储蓄而是把现有的产出全部用作消费。考虑离散 Ramsey 模型：即时效用定义为消费的函数 $u(c_t)$，资本存量的演化服从
$$ k_{t+1} = f(k_t) + (1-\delta)k_t - c_t. $$将即时效用写作 $k_t$ 和 $k_{t+1}$ 的函数：
$$ u(k_t,k_{t+1}) = u(f(k_t) + (1-\delta)k_t - k_{t+1}). $$从而横截性条件
$$ -\beta^Tu'(c_T)k_{T+1} = 0. $$这基本上意味着 $k_{T+1} = 0$，即 $T$ 期全部产出和资本都用于消费，没有储蓄。
The infinite horizon case
在无限期动态优化中，我们无法像上面那样直接推导出横截性条件，但我们可以基于此合理推广为极限形式：
$$ \lim_{t\to\infty}\beta^Tu_2(x_T,x_{T+1})x_{T+1} = 0. $$如果结合欧拉方程 $u_2(x_t,x_{t+1})+\beta u_1(x_{t+1},x_{t+2})=0$，我们还有另一种形式:
$$ \lim_{t\to\infty}\beta^Tu_1(x_T,x_{T+1})x_T = 0. $$它们意味着无穷远期存量的贴现值为0，这表明最优路径上存量不能是过度积累的。
最后修改于 2024-09-04