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本系列未能完成，只出了两期，因为复习进度太慢，最终换成手写笔记了。且作留恋。
Overlapping Generations
资本过度积累和动态无效率
我们对 OLG 模型的竞争均衡同一个社会计划者的中心化决策进行对比，考察竞争均衡是否是 Pareto 最优的。社会计划者意图最大化所有代际的加权平均效用：
$$ \sum_{t=0}^\infty \xi_t[u(c_{1,t})+\beta u(c_{2,t+1})] $$其中 $\xi_t$ 是社会计划者赋予代际 $t$ 的权重。同时，还要服从总的资源约束：
$$ F(K_t,L_t) = K_{t+1} + L_tc_{1,t} + L_{t-1}c_{2,t} $$两边同除以 $L_t$，得到
$$ f(k_t) = (1+n)k_{t+1} + c_{1,t} + \frac{c_{2,t}}{1+n} $$对于同一个体青年期和老年期的消费分配，一阶条件为
$$ \frac{u'(c_{1,t})}{\beta u'(c_{2,t+1})} = \frac{1}{1+n}\frac{dc_{2,t+1}}{dk_{t+1}} = f'(k_{t+1}) $$回忆在竞争均衡中，一阶条件是
$$ u'(c_{1,t}) = \beta R_{t+1} u'(c_{2,t+1}) $$而 $R_{t+1} = f'(k_{t+1})$，因此社会计划者对一个个体青年期和老年期的消费配置同该个体自身的最大化决策是一致的，在这一点上市场配置是有效率的。
然而，由于社会计划者给每一代个体分配了不同的权重（$\xi_t$ 随 $t$ 变化），可以想见代际之间资源配置不会相同，这是区别于竞争均衡的。
考虑一个具体的权重设定：$\xi_t = \xi^t$。我们使用 Lagrange 函数：
$$ \mathcal{L} = \sum_{t=0}^\infty \left(\xi^t[u(c_{1,t})+\beta u(c_{2,t+1})]-\lambda_t\left[(1+n)k_{t+1}+c_{1,t}+\frac{c_{2,t}}{1+n}-f(k_t)\right]\right) $$一阶条件：
$$ \begin{align*} [c_{1,t}]&\colon\quad \xi^tu'(c_{1,t}) - \lambda_t = 0 \\ [c_{2,t+1}]&\colon\quad \xi^t\beta u'(c_{2,t+1}) - \frac{\lambda_{t+1}}{1+n} = 0 \\ [k_t]&\colon\quad \lambda_t f'(k_t) - \lambda_{t-1}(1+n) = 0 \end{align*} $$前两个条件可推出同期年轻人和老年人消费的欧拉方程
$$ \frac{u'(c_{1,t})}{u'(c_{2,t})} = \frac{\beta(1+n)}{\xi} $$这表明 $c_{1,t}$ 和 $c_{2,t}$ 可以互相确定。因此我们只需考虑 $c_{1,t}$ 和 $c_{1,t+1}$ 的欧拉方程（由上述第一和第三个一阶条件得到）：
$$ u'(c_{1,t}) = \frac{\xi}{1+n}f'(k_{t+1})u'(c_{1,t+1}) $$由此可知在稳态中我们有
$$ \frac{\xi}{1+n}f'(k^s) = 1 \quad\Rightarrow\quad f'(k^s) = (1+n)(1+\rho) > 1+n $$其中 $1+\rho = 1/\xi$，$\rho$ 相当于贴现率。根据资源约束可确定稳态中的消费。
Note
可以证明社会计划者的配置会收敛到上述稳态，证明方式见 DA 课本 6.8 节。
在离散时间 Ramsey 模型中（课本 6.8 节，但设定折旧率 $\delta=1$ 以及人口增长率 $n$），稳态人均资本存量满足
$$ \beta f'(k^*) = 1+n \quad\Rightarrow\quad f'(k^*) = (1+n)(1+\varrho) > 1+n $$可以看到，社会计划者在 OLG 中的稳态配置和 Ramsey 模型的稳态高度相似（我们知道，根据第一福利定理，Ramsey 模型中的竞争均衡是 Pareto 有效率的），它们都有一个共同点，那就是稳态的利率 $r = f'(k) - 1$ 大于人口增长率 $n$，这说明资本不是过度积累的，而它事实上是 Pareto 最优的一个必要条件。
下面我们说明 OLG 的竞争均衡有可能不是 Pareto 最优的。记 $k_{\textit{gold}}$ 为最大化稳态消费的人均资本存量。在 OLG 的稳态中，由总资源约束，有
$$ f(k^*) - (1+n)k^* = c_1^* + \frac{1}{1+n}c_2^* \equiv c^* $$于是，$k_{\textit{gold}}$ 满足
$$ f'(k_{\textit{gold}}) = 1+n $$若 $k^* > k_{\textit{gold}}$，则 $\partial c^*/\partial k^* < 0$，表明减少储蓄可以增加总的消费。此时，我们说经济是动态无效率的：资本过度积累了。$k^* > k_{\textit{gold}}$ 也意味着稳态利率小于人口增长率：$r^* < n$。
以上竞争均衡的稳态可获得 Pareto 改进。假设在某一时间 $T$ 处经济处于稳态且 $k^* > k_{\textit{gold}}$，在 $T+1$ 期，减少人均资本存量至 $k^*-\Delta k\geq k_{\textit{gold}}$，之后便一直维持此水平。那么，根据总资源约束，第 $T$ 期总消费的变化量
$$ \Delta c_T = (1+n)\Delta k > 0 $$此后每一期的消费变化量
$$ \Delta c_t = f(k^*-\Delta k) - f(k^*) + (1+n)\Delta k = -[f'(\hat{k})-(1+n)]\Delta k $$其中 $\hat{k}\in(k^*-\Delta k,k^*)$，因此 $f'(\hat{k})-(1+n) < 0$，$\Delta c_t > 0$。社会计划者可将每一期增加的总消费在年轻人和老年人之间分配，于是每一代人在其年轻和年老时期都都获得了增益。
那么，为什么在市场是完全的且没有外部性的情况下，竞争均衡却不是 Pareto 有效率的呢？原因在于，在 OLG 模型中我们不一定能应用第一福利定理，因为有无穷多个新生的个体不断地加入经济，这意味着总的收入流可能是无穷大的，这事实上就发生在经济动态无效率时（即 $r^* < n$ 时，可参见课本习题 9.11 的证明）。于是，这给予我们进行 Pareto 改进的机会：通过减少过度的储蓄增加每一代人的消费；这种调整不像竞争市场中通过价格（工资、利率）配置资源，从而能合理利用无限的收入流实现改进。
社会保障
资本过度积累导致动态无效率，除了前述直接对储蓄进行调整的方法，直觉上也可以通过向老年人提供消费来消除或缓解资本过度积累，这便向模型中引入了社会保障体系。有两种社保体系可供考虑：fully-funded 和 unfunded (or pay-as-you-go)。前者从年轻人手中筹资，然后在他们年老时返还；后者直接将年轻人的部分收入转移到同期的老年人手中。我们考察它们是否能缓解资本过度积累的问题。
Fully funded social security
在此社保体系下，个体的最大化问题是
$$ \begin{align*} \max_{c_{1,t},c_{2,t+1},s_t}&\quad u(c_{1,t})+\beta u(c_{2,t+1}) \\ \text{s.t.}&\quad c_{1,t} + s_t + d_t \leq w_t \\ &\quad c_{2,t+1} \leq R_{t+1}(s_t+d_t) \end{align*} $$其中 $d_t$ 是由政府外生决定的筹资额度。
如果我们不对 $s_t$ 施加任何限制（可正可负），很显然，对任意给定的 $d_t$，原 OLG 的竞争均衡仍是上述问题的解，因为我们可将 $s_t+d_t$ 视作一体，那么任意 $d_t$ 的变动都会被 $s_t$ 的变动抵消而不会导致一个新的均衡。
即便我们要求 $s_t\geq 0$，且最优解中某些时期 $s_t = 0$，此新的均衡也不会比原竞争均衡更有效率，因为紧约束必然意味着 $d_t$ 不小于原均衡中的储蓄，也就是说，该社保体系下的资本积累不会低于原竞争均衡中的资本积累。
综上，完全融资的社保体系不会带来 Pareto 改进。
Unfunded social security
个体的效用最大化问题
$$ \begin{align*} \max_{c_{1,t},c_{2,t+1},s_t}&\quad u(c_{1,t})+\beta u(c_{2,t+1}) \\ \text{s.t.}&\quad c_{1,t} + s_t + d_t \leq w_t \\ &\quad c_{2,t+1} \leq R_{t+1}s_t + (1+n)d_{t+1} \end{align*} $$注意只有 $s_t$ 进入资本积累而 $d_t$ 是纯粹的转移支付。当无社保体系的竞争均衡存在动态无效率时，即 $r^* < n$，此社保体系能够缓解资本过度积累。为说明这一点，假设个体也可以自由选择缴纳的社保额度 $d_t$，那么很显然，只要 $r_{t+1} < n$，则 $R_{t+1} < 1+n$，即投资的回报率小于社保的回报率，于是不会有任何投资，但这违背了均衡条件 $R_{t+1} = f'(k_{t+1})$，由此可知均衡时一定有 $r_{t+1} \geq n$。这个分析表明，在纯转移的社保体系下，政府可以选择合适的缴纳额度让经济的竞争均衡不再是动态无效率的。事实上，还可以证明，通过选择合适的 $\{d_t\}$，所得到的竞争均衡可以 Pareto 占优于无社保体系的竞争均衡（见课本命题 9.8）。
最后修改于 2024-09-04